多体问题

[拼音]：duoti wenti

[外文]：many-body problem

天体力学和一般力学的基本问题之一，又称为N 体问题，N 表示任意正整数。它研究N 个质点相互之间在万有引力作用下的运动规律，对其中每个质点的质量和初始位置、初始速度都不加任何限制。牛顿早就提出了这个问题。作为研究天体系统的运动的一种力学模型，N 个质点就代表N 个天体，每个质点所受到的作用力就是它们之间的万有引力。因此，这也是一种特殊的质点系统动力学，并已成为一般力学（理论力学）的专门分支。对于一些特殊形状的天体，不能作为质点看待时，则须另行研究。三百年来，大量的研究成果使多体问题成为天体力学中各个分支的共同基础，同时多体问题又有自己独立的研究课题。主要研究课题可分为两类；一类是特殊的多体问题，另一类是共同性问题。

二体问题是最简单的多体问题(N=2)，在牛顿时代就已基本解决。它的运动方程已解出，两个天体的轨道或一个天体相对于另一天体的轨道都是圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线或双曲线）。只要知道两个天体在初始时刻的坐标和速度分量，就可以计算出它们在任何时刻的位置和速度。

三体问题是多体问题中最著名的特殊问题(N=3)。近三百年来，经过很多第一流的数学家、力学家和天文学家们的艰苦努力，虽然在这方面取得了很多成果，但问题仍未解决。因而它成为天体力学中有名的难题。其中主要困难是运动方程解不出来。为了应用于具体天体的运动，除了继续研究一般解外，还需要研究一些特殊的三体问题。例如针对太阳系内的小天体，提出了限制性三体问题。把其中小天体的质量当作无限小，即它对另外两个天体的引力可以忽略，这种简化的三体问题虽然也未完全解决，但得到的特解和运动区域（见平面圆型限制性三体问题）是很有用的，并已推广到一般的三体问题。另外，用定性方法可以严格证明，在一定条件下，三体问题的解可以用时间的幂级数来表示。三体问题的研究已渗透到天体力学各个分支。

N 大于3时，通常就称为N 体问题，它是多体问题中的共同性课题。现在主要是用数值方法和定性方法进行研究。由于电子计算机的迅速发展，对于N 为几百的 N　体问题（运动方程为6N阶），可用数值方法算出它们在相当长时期内的运动情况。例如外行星的坐标已推算出四百年的结果：一些聚星和星协成员的轨道，则已计算出上百万年的结果。值得指出的是，星协计算结果与传统观念不符。如猎户座O星协的成员不是在不断散开，而是在百万年内忽聚忽散地振动。另外，用数值方法结合分析方法计算了太阳系的内行星的轨道变化，同观测结果比较，可用来研究引力理论。

二十世纪以来有不少数学家用定性方法研究N 体问题，取得很多重要成果。例如温特纳研究了N 体问题的特解，证明在一定条件下，N 个质点可以组成某种确定的形状（如直线或多面体等），它在运动中只有旋转和伸缩，形状永远不变。这种类型的特解取名为中心构形，实际上是三体问题中拉格朗日特解的推广。而且N 个质点在同一直线上相对平衡的特解数目为!个，这与三体问题的结果一致。另外，还有不少人把三体问题的其他结果，如碰撞问题、正规化、俘获理论等问题推广到N 体问题，也得到了类似的结论。