隐函数

[拼音]：yinhanshu

[外文]：implicit function

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程

　　　(1)

中，作为这方程的一个解（函数）。例如

给出

。

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变，因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号，一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x，y)=( x0，y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0，y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：

。 (2)

可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，惟一的条件是

。 (3)

隐函数理论的基本问题就是，在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x，y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y＝ƒ(x)，不仅单值连续，而且连续可微，其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就在于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。

这个结果能够推广到方程组

。

相当于(2)的微分式给出相当于(3)的条件