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隐函数

一个函数y=ƒ(x),隐含在给定的方程

   (1)

中,作为这方程的一个解(函数)。例如

给出

如果不限定函数连续,则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解;如果限定连续,则只有两个解(一个恒取正号,一个恒取负号);如果限定可微,则要排除x=±1,因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1),但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(xy)=( x0,y0)的邻近范围内,则只有一个惟一的解(当起点(x0,y0)在上半平面时取正号,在下半平面时取负号)。

微分学中主要考虑函数z=F(xy)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分:

。 (2)

可见,即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形,也能够直接算出它的导数,惟一的条件是

。 (3)

隐函数理论的基本问题就是,在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内,在函数F(xy)连续可微的前提下,什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数yƒ(x),不仅单值连续,而且连续可微,其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就在于断定(3)就是这样的一个条件,不仅必要,而且充分。

这个结果能够推广到方程组

相当于(2)的微分式给出相当于(3)的条件