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复变函数

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z,通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应,就说在复数集A上定义了一个复变函数,记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iywu+iv,那么复变函数wƒ(z)可分解为w=u(xy)+iv(xy);所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z,有且仅有一个w与之对应。例如,z2是复平面上的复变函数。但在复平面上并非单值,而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法(见解析开拓、黎曼曲面)。

对于zAƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像,记为ƒ(A)。函数ƒ规定了Aƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下,z平面上的射线argz=θw平面上的射线argw=2θ对应;如果ƒ(A)嶅A*,称ƒA映入A*。如果ƒ(A)=A*,则称ƒA映成A*;此时称AA*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ,如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异,则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下,对A*上的任一wA上必有一个z与之对应,称此映射为ƒ的反函数,记为

z=ƒ-1(w)。

ƒ(z)是A上的复变函数,αA中一点。如果对任一正数ε,都有正数δ,当zA且|z-α|<δ 时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立,则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数,则对任一正数ε,必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1,z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。

ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于zD,如果极限存在且有限,则称ƒ(z)在z处是可导的,此极限值称为ƒ(z)在z处的导数,记为ƒ┡(z)。这是实变函数导数概念的推广,但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+hz的二维邻域内的任意一点,极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在 z的某一邻域内处处有导数,则该函数必在z处有高阶导数,而且可以展成一个收敛的幂级数(见解析函数)。所以复变函数导数的存在,对函数本身的结构有重大影响,而这些结果的研究,构成了一门学科──复变函数论。