线性系统理论

[拼音]：xianxing xitong lilun

[外文]：linear systems theory

以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。20世纪50年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显,它既不能满足实际需要,也不能解决理论本身提出的一些新问题。这种状况推动线性系统的研究，在1960年以后从经典阶段发展到现代阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于对多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性这两个基本概念，并提出相应的判别准则。1963年他又和E.G.吉尔伯特一起得出揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的工作。1965年以后，现代线性系统理论又有新发展。出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算机辅助设计问题也受到普遍重视。

主要特点

与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：

（1）研究对象一般是多变量线性系统，而经典理论主要以单输入单输出系统为研究对象。因此，现代线性系统理论具有大得多的适用范围。

（2）除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量，而经典理论只考虑系统的外部性能（输入与输出的关系）。因此，现代线性系统理论所考虑的问题更为全面和更为深刻。

（3）在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法。而经典理论主要采用频域方法。因此，现代线性系统理论能充分利用这两种方法。而时域方法对动态描述要更为直观。

（4）使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论，对某些问题还使用泛函分析、群论、环论、范畴论和复变函数论等较高深的数学工具。因此，现代线性系统理论能探讨更一般更复杂的问题。

数学模型

在线性系统理论中，输入变量、状态变量和输出变量三者之间的数学关系被看作是线性的。系统数学模型具有标准形式。对于连续情况，线性系统由下列方程组描述：

第一个方程称为状态方程，用以描述状态向量x＝(x1，x2,…,xn)T 与输入向量u＝(u1,…,ur)T间的动态关系；第二个方程称为输出方程或量测方程,描述输出向量y＝(y1，y2…,ym)T与状态向量和输入向量之间的线性组合关系。这里T表示矩阵转置。A，B，C和D都是常系数矩阵。x的维数（即系统的状态变量的个数）n称为系统的维数。这个模型可用下面的框图表示。

对于离散情况，线性系统的模型具有差分方程形式：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

y(k)＝Cx(k)＋Du(k)　(k＝0,1,2,…)

为简便起见,常可把线性系统简记为(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)表示从输入端直接传送到输出端的前馈作用,它与系统状态的动态行为无关。在理论研究中常可假设D＝0，这时系统可记为(A，B，C)。

学科内容

线性系统理论的主要内容包括：

（1）与系统结构有关的各种问题，例如系统的结构分解问题和解耦问题等。系统结构的规范分解（见能观测性）是其中的著名结果。

（2）关于控制系统中反馈作用的各种问题，包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。

（3）状态观测器问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。

（4）实现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要研究课题是最小实现问题。

（5）几何理论，即用几何观点研究线性系统的全局性问题(见线性系统几何理论)。

（6）代数理论，用抽象代数方法研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模论方法（见线性系统代数理论）。

（7）多变量频域方法，是在状态空间法基础上发展起来的频域方法，可以用来处理多变量线性系统的许多分析和综合问题，也称现代频域方法。

（8）时变线性系统理论，研究时变线性系统的分析、综合和各种特性。数值方法和近似方法的研究占有重要地位（见时变系统）。

与其他学科的关系

很多实际系统（工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等）都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用范围十分广泛。在航空、航天、化工、机械、电机等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题。

参考书目

Linear　Systems

Linear　System Theory: A State Space Approach