代数基本定理

[拼音]：daishu jiben dingli

[外文]：fundamental theorem of algebra

关于多项式根的定理，即一个次数不小于1的复系数多项式ƒ(x)在复数域内有一根。由此推出，一个n(≥1)次复系数多项式ƒ(x)在复数域内恰有n个根(重根按重数计算)。这条定理形式上是代数的，但是它的证明却离不开复数域的解析性质。C.F.高斯于1799年首先给出这个定理的一个证明。

20世纪以前，代数研究的对象，如矩阵、二次型和各种超复数系都是建立在实数域或复数域之上的，当时代数基本定理起着核心的作用。20世纪以来，随着代数学的进一步发展，抽象代数结构，如群、环、模、域相继出现，于是代数基本定理逐渐失去了它的原有的地位。

代替代数基本定理的是根的存在定理:设F是任一域。ƒ（x）是多项式环F[x]中任一个不可约多项式，则存在F的一个扩域K，使得ƒ（x）在K内有一根。由此得到分裂域的存在定理：对于任一域F和任一n（n≥1）次多项式ƒ(x)∈F[x]，则存在F的一个代数扩域K使得ƒ(x)在K内完全分解ƒ(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)，而且K可由添加α1，α2，…，αn到F上而得到。更进一步，最后可得到F上代数闭包的存在定理：F上存在一个代数扩张Ω使得Ω[x]内每个次数不小于1的多项式在Ω内完全分解。Ω称为F上的代数闭包。而且 F上任何两个代数闭包是F同构的，因而在同构意义下Ω由F 惟一决定。Ω本身是一个代数闭域。复数域就是一个代数闭域。现在Ω正起着复数域在历史上所起过的作用。