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黄金分割

分已知线段为两部分,使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。这就是黄金分割的问题。作法很简单,设已知线段为AB,作BDAB,使BD=AB/2,连接AD,以D为心,BD为半径作弧交ADE,再以A为心,AE为半径作弧交ABC,则C就是所求的分点。

图

…,G称为黄金比或黄金分割数,它有很多奇妙的性质。上述的分割通常叫做黄金分割,或者说将线段分成中末比、中外比或外内比。对中末比作系统的研究,最早是希腊数学家欧多克索斯。但更早的毕达哥拉斯可能已经知道,因为中末比和正五边形、正十边形的作图是密切相关的,而毕达哥拉斯对此深有所知。

中世纪以后,中末比被披上神秘的外衣,帕乔利(约1445~1517,意大利人)称之为神圣比例。天文学家J.开普勒称之为神圣分割,并说“勾股定理和中末比是几何中的双宝,前者好比黄金,后者有如珠玉”。19世纪以后,黄金分割之名才逐渐通行起来。

中末比的严格论述,最早见于欧几里得的《几何原本》。卷2第11题,卷6第30题,又卷4第10题和卷13第9题指出正五边形及正十边形与中末比的关系。

L.斐波那契的《算盘书》(1228年修订本)中载有“由一对兔子开始,一年后能繁殖成多少对兔子”的问题,导致斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,它的规律是每一项(从第 3项起)是前两项之和。又每一项与后项的比值构成斐波那契分数列:

这分数列的极限就是黄金分割数G

黄金分割的实际应用,最著名的例子是优选学中的黄金分割法或 0.618法。它是美国J.基弗在1953年首先提出来的。1970年以后在中国推广,取得很大的成绩。0.618是G的近似值,在实用上已足够精确,优选法的另一种方法──分数法,是以斐波那契分数列作为依据的。

关于黄金分割还有种种传说,例如:以黄金分割所得的两线段作边的矩形,比其他的矩形美观。这是没有充分根据的。1876年,德国心理学家G.T.费希纳作过大规模实验,结果认为“黄金矩形”最美的人只占全体的1/3。由此出发所作出的许多推测自然也是不可靠的。