病态矩阵

[拼音]：bingtai juzhen

[外文]：ill-conditioned matrix

求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb，方程组(A+δA)塣=b+δb的解塣与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解塣一般都不可能恰好使剩余r=b-A塣为零，这时塣亦可看作小扰动问题A塣=b-r(即δA=0，δb=-r)的解，所以当A为病态时，即使剩余很小，仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。例如，取

当以 作为近似解时，剩余 r ＝已很小，但塣与真解仍相差很远。

判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看数值K(A)＝‖A-1‖‖A‖的大小，其中A-1为矩阵A的逆，‖‖表示对矩阵取某一种范数。K(A)称为A的条件数，它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。

对小扰动问题 (A+δA)塣=b+δb与原问题Ax=b的解有估计式

对矩阵求逆亦有估计式

从上估计式可以看出条件数对解方程组及矩阵求逆的影响。

希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵，其定义为

式中

由于Hn对称正定，当取‖Hn‖为欧氏范数时，K(Hn)即为Hn的最大与最小特征值之比。对n=7，8，9，10有

K(H7)=4.75×108K(H8)=1.53×1010　K(H9)=4.93×1011K(H10)=1.60×1013

当n较大时，有近似表达式K(Hn)～e3.5n。在一台相当于10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解方程组时，如n≥8，则所得解答连一位准确数字都没有。