超限归纳法

[拼音]：chaoxian guinafa

[外文]：transfinite induction

又称超穷归纳法，数学中用来证明某种类型命题的重要方法，亦称超限归纳证法。设 (Χ，≤)是一个良序集，对任意α∈Χ，Χα={b∈Χ│b<α}称为在Χ中由α所确定的截段。E嶅Χ称为归纳子集，如果对于任何α∈Χ，只要截段Χα嶅E，就有α∈E。超限归纳定理断言：设E为良序集(Χ，≤)的归纳子集，则E＝Χ。因为若α为Χ的最小元素，则由，可得α∈E:如果α┡为Bα={b∈Χ│b>α}的最小元素，那么Χα'={x∈Χ│x<α┡}={α}嶅E，遂有α┡∈E。同理可得α″=(α┡)┡∈E等等。容易看出，Χ的良序性是定理成立的重要依据，倘若把它改为Χ是全序集，则Χ的非空子集可以没有最小元素，命题就不成立了。当Χ为自然数集N时，就得到上述定理的一个常用的特殊情况，称为数学归纳法，表述为：若E嶅N，满足①0∈E；

（2）对于任何n∈N，如果由一切小于n的自然数k∈E，可以推出n∈E，则E=N。其中一切小于 n的自然数k∈E相当于Nn嶅E，而0∈E则是的结果。在引进“类”概念的前提下，超限归纳定理可以叙述为：设C是一个序数类，如果①0∈C；

（2）若α∈C，可得α┡=α+1∈C；

（3）若α为极限序数，并且对一切β<α，β∈C，就必然有α∈C，则C是所有序数的类。