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超限归纳法

又称超穷归纳法,数学中用来证明某种类型命题的重要方法,亦称超限归纳证法。设 (Χ,≤)是一个良序集,对任意α∈ΧΧα={bΧb<α}称为在Χ中由α所确定的截段。EΧ称为归纳子集,如果对于任何α∈Χ,只要截段Χα嶅E,就有α∈E。超限归纳定理断言:设E为良序集(Χ,≤)的归纳子集,则EΧ。因为若α为Χ的最小元素,则由,可得α∈E:如果α┡为Bα={bΧb>α}的最小元素,那么Χα'={xΧx<α┡}={α}嶅E,遂有α┡∈E。同理可得α″=(α┡)┡∈E等等。容易看出,Χ的良序性是定理成立的重要依据,倘若把它改为Χ是全序集,则Χ的非空子集可以没有最小元素,命题就不成立了。当Χ为自然数集N时,就得到上述定理的一个常用的特殊情况,称为数学归纳法,表述为:若EN,满足①0∈E

(2)对于任何nN,如果由一切小于n的自然数kE,可以推出nE,则E=N。其中一切小于 n的自然数kE相当于NnE,而0∈E则是的结果。在引进“类”概念的前提下,超限归纳定理可以叙述为:设C是一个序数类,如果①0∈C

(2)若α∈C,可得α┡=α+1∈C

(3)若α为极限序数,并且对一切β<α,βC,就必然有α∈C,则C是所有序数的类。