共轭函数

[拼音]：gong’e hanshu

[外文]：conjugate function

对于周期为 2π的勒贝格可积函数 ƒ(x)（以下记为ƒ∈l1(-π ，π)），积分

几乎处处存在。函数愝(x)称为ƒ(x)的共轭函数。愝(x)未必属于l1(-π，π)，例如是某个ƒ∈l1(-π，π)的傅里叶级数，但ƒ的共轭函数logn却不属于l1(-π，π)。然而，当ƒ∈lp(p>1)时，有，就是说，愝∈lp，这是著名的里斯定理。

共轭函数的概念和单位圆内解析函数的理论有密切关系。假设

(2)

是ƒ ∈l1(-π，π)的傅里叶级数，记为σ[ƒ]。置сk=αk-ibk，那么级数(2)就是幂级数

　 (3)

在单位圆周z=eix(0≤x≤2π)上的实部。它的虚部

　　　　 (4)

就是ƒ的共轭级数，记为σ[ƒ]。在一定条件下，它是共轭函数愝(x)的傅里叶级数。共轭函数的性质与傅里叶级数σ[ƒ]的收敛性有密切关系。

以幂级数(3)为桥梁，傅里叶级数σ[ƒ]的许多性质，可以借助于圆内解析函数的理论来推导。这是因为级数(3)在单位圆内是一个解析函数F(z)，而解析函数是强有力的理论工具，ƒ(x)与愝(x)的许多深刻的性质便可以通过对F(z)的研究得出。这种方法称为傅里叶分析中的复变函数论方法。例如积分(1)的存在性，以及上述里斯定理的证明都是通过这种方法得到的，它对傅里叶级数理论的发展有着重要意义。