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伯努利方程

对于密度均匀的无粘流体的定常流,沿流线表述能量守恒定律而得到的方程。它建立起质点速度 v同压力p、密度ρ和其他量之间的关系。瑞士学者D.伯努利在1738年从实验和推理中得出了这个关系。

对于密度均匀的水沿着高程 h有变化的管道中的定常流(即vpρ都只随位置变,而在同一位置这些量不随时间t变的流动)的伯努利方程是:

。(1)

如果从连续方程出发能求出v在管道中各处的值,根据伯努利方程就可求出各高程h处的压力p。在管道横截面形状或面积发生不恰当的突变处,v2/2可能有多达一半左右转化为热能,造成不必要的动能损耗。由于粘性作用,式(1)中的常数随管子增长而有所减小。

定常流动中“流线”的概念很重要。流线上任何一点的切线方向就是流体质点流到此处时速度的方向。如果可忽略粘性的作用,则欧拉方程成立。在定常流情况下,沿流线把欧拉方程积分就得到伯努利方程。积分的结果是:

(1)对于ρ=常数的流体,可得式(1)。因为在这种情况下可以把管道看成是一条流线。

(2)对于常比热容完全气体(见流体力学的能量方程)的绝热运动

(2)

式中H 为热力学中的比焓。在式(2)中没有考虑势能,这是因为气体密度小,相对于焓和动能来说气体的势能是可以忽略的。式 (2)中的常数视流线而异。在位势流的情形下,所有流线的常数都一样,也就是说在整个流场中是同一常数。