希腊几何三大问题

[拼音]：Xila jihe sanda wenti

[外文]：three problems in Greek geometry

古希腊几何作图的三大问题是：

（1）化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆；

（2）三等分任意角；

（3）倍立方，求作一立方体，使其体积是一已知立方体的两倍。这些问题的难处，是作图只许用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。经过两千多年的探索，最后才证明在尺规的限制下，根本不可能作出所要求的图形。

希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因。

（1）希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度。

（2）受柏拉图哲学思想的影响。柏拉图片面强调数学在训练智力方面的作用而忽视其实用价值。他主张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，因此工具要有所限制，正象体育竞赛要有器械的限制一样。

（3）以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定只使用这两种工具。历史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，以后逐渐成为一种公约，最后总结在欧几里得的《几何原本》之中。

圆和正方形都是常见的图形，怎样用尺规作一个正方形与已知圆等积？在历史上，也许没有任何一个几何问题象这个"化圆为方"问题那样强烈地引起人们的兴趣。早在公元前5世纪就有许多人研究这个问题，希腊人对于这种活动用一个专门的字""来表示，意思是“献身于化圆为方问题”，可见事情相当普遍。这问题的最早研究者是安纳萨戈拉斯，他因“不敬神”的罪名被捕入狱，在狱中潜心研究化圆为方问题。以后著名的研究者有希波克拉底、安提丰、希皮亚斯等人。安提丰提出一种“穷竭法”，是近代极限论的雏形。先作圆内接正方形（或正6边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信“最后”的正多边形必与圆周重合。这样就可以化圆为方了。结论是错误的，然而却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导。与中国刘徽的割圆术不谋而合。

用尺规二等分一个角是轻而易举的，对于某些角，如90°、135°、180°，三等分也不难。自然会提出三等分任意角的问题。如能将60°角三等分，就可以作出正18边形和正9边形，三等分角问题就是由这一类问题引起的。关于倍立方问题的起源，有两个神话传说。第一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上小岛），一个预言者说已经得到神的谕示，必须将立方形的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能停息。一个工匠简单地将坛的各边加倍（体积变成原来的8倍），这并不符合神的意旨，因此瘟疫更加猖獗。错误发现后，希腊人将这个”提洛问题”去请教柏拉图。柏拉图说：神的真正意图是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧。另一个故事说克里特王米诺斯为儿子修坟，命令将原来设计的体积加倍，但仍保持立方的形状。

公元前5世纪，雅典的“智人学派”以上述三大问题为中心，开展研究。正因为不能用尺规来解决，常常使人闯入新的领域中去。例如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲数的发现。

17世纪解析几何建立以后，尺规作图的可能性才有了准则。1837年P.L.旺策尔给出三等分任意角和倍立方不可能用尺规作图的证明，1882年C.L.F.von林德曼证明了 π的超越性，化圆为方的不可能性也得以确立。1895年（C.）F.克莱因总结了前人的研究，著《几何三大问题》(中译本，1930)一书，给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案。

虽然如此，还是有许多人不管这些证明，想压倒前人所有的工作。他们宣称自己已解决了三大问题中的某一个，实际上他们并不了解所设的条件和不可解的道理。三大问题不能解决，关键在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面为了叙述简单，将原题稍加修改。在直尺边缘上添加一点p，命尺端为O。设所要三等分的角是∠ACB，以C为心，Op为半径作半圆交角边于A、B；使O点在CA延线上移动，p点在圆周上移动，当尺通过B时，联OpB（见图