碰撞问题

[拼音]：pengzhuang wenti

[外文]：collision

若p个质点在时刻t1同时碰撞于一点，这就称为在t1发生了p体碰撞。碰撞时刻 t1是多体运动方程的奇点。当时间趋于t1时，碰撞质点的相互距离趋于零，鉴于万有引力与距离平方成反比，所以加速度趋于无穷大，微分方程在该点不再满足解的存在及唯一性定理的条件。能否通过一定的变换消除这一奇点，碰撞以后天体如何运动，在碰撞时刻附近轨道的渐近表现如何，以及虽不发生碰撞但出现几个质点彼此紧密接近，这时轨道的性质又如何，诸如此类都是碰撞问题所要讨论和研究的。从理论上说，不消除碰撞奇点就不可能得到多体问题的全局解。实际工作也要求解决碰撞和紧密接近时轨道的计算问题。

只要二体碰撞得到了详尽研究，并适当选取参数，就可以毫无困难地把天体在碰撞前后的运动清楚地表示出来。两个天体在相互引力的作用下，沿着一条近乎直线的轨道碰撞，然后就反弹回来。经过碰撞，这个系统的能量积分、动量矩积分和质量中心的运动状态都保持不变。尽管碰撞时天体的加速度会无限增大，但是两个天体之间的距离r和其中任何一个天体的速度v的平方之积rv2却趋于一个确定的有限值。所以，二体碰撞奇点是非本质的，可以通过一定的变换予以消除。

研究二体以上的碰撞问题要困难得多，至今还有很多问题未弄清楚。但可以肯定，若要所有天体都同时碰撞于一点，则该系统的动量矩的三个分量必须全部为零。因此，在研究该系统的一般运动状态时可避开这种情况。在三体问题的三体碰撞方面，有一些更为具体的研究成果。首先，如发生三体碰撞，三个质点必须始终保持在一个平面上。另外，它们只能组成等边三角形或连成一直线。发生在碰撞奇点邻近三体碰撞轨道的坐标的渐近表示式是形如项的线性组合。这些特征指数λi中有一个取值为2/3，其他一般是无理数。这说明与二体碰撞奇点不同，三体碰撞奇点是本性奇点。松德曼对三体问题的碰撞奇点作了深入的研究。他首先适当选择初始条件，以排除三体碰撞，然后引入一个变量ω代替t作自变量，以消去所有的二体碰撞奇点。他证明了三质点的坐标、它们相互间的距离以及时间 t都是ω的解析函数，因此能展开为它的收敛幂级数。而且这一点对于任何时刻都有效。松德曼级数是三体问题最重要的成果之一。

在N个天体（质点）组成的多体问题中，在某一时刻如果每个天体受到的引力都指向该系统的质心，并且引力的大小正比于该天体的质量和它到质心的距离，就称这 N个天体组成的几何形状为中心构形。具有相似形状的中心构形，都看成是同一类的。N个天体在趋于N体碰撞时，它们所组成的几何形状一定越来越接近于某类中心构形。如果这 N个天体组成的系统具有无穷多类中心构形，则在趋于N体碰撞时，就可能摆动于这些中心构形之间。

参考书目

Lectures on Celestial Mechanics