悖论

[拼音]：beilun

[外文]：paradox

自相矛盾的命题，即如果承认这个命题，就可推出它的否定；反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。1900年前后在集合论中出现了 3个著名悖论。

罗素悖论(1903)

设R为一切不属于自身的集合(即不含自身作为元素) 所组成的集合。在朴素集合论中这样的R是合法的。R是否属于R?若R属于R，则R是R的元素，于是R不属于自身，即R不属于R；反之，若R不属于R，则R不是R的元素，于是R属于自身，即R属于R。无论如何，都是矛盾的。

康托尔悖论(1899)

设S为一切集合所组成之集合。考虑S的势。因为任何集合都是S的子集，故不存在其势大于的集合，但由康托尔定理可知，S的幂集P(S)的势大于。这就得到矛盾。

布拉利-福尔蒂悖论(1897)

设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集，故W有一序数Ω。由序数性质，这Ω必比W中任一序数都大，但由定义，Ω也出现于W中，从而将有Ω>Ω，而这是矛盾的。

这些悖论，特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动（J.W.R.戴德金推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版，（F.L.）G.弗雷格甚至宣称他的《算术基本法则》基础之一被动摇了），触发了数学的第三次危机。1908年B.A.W.罗素的类型论(见集合论公理系统)和 E.F.F.策梅洛的公理集合论就是为了防避它们而提出的。