多面体

[拼音]：duomianti

[外文]：polyhedron

有限个平面多边形，如果其中的每一多边形的每一边至多能当作两个多边形的边，并且对分属于其中不同多边形的两个顶，总存在连结它们的以其中的一些边为各段的折线，那么这有限个平面多边形连同它们内部点的总体，叫做一个多面面。构成一个多面面的各个多边形的顶和边，分别叫做多面面的顶和棱；多边形的本身连同内部的点，叫做多面面的面。如果多面面的棱是两个面的边，这样的棱叫做多面面的内棱。如果多面面的棱只是一个面的边，这样的棱叫做多面面的界棱。如果多面面的所有的棱都是它的内棱，这样的多面面叫做多面体；这样的多面面的顶、棱、面分别叫做多面体的顶、棱、面。多面体按面数分类，可分为四面体、五面体、六面体，等等。

如果多面体符合以下各条件，就叫做简单多面体：

（1）各面都是简单多边形的面；

（2）棱与棱之间、棱与面的内部，都没有公共点；

（3）顶不是任何面或棱的内点；

（4）共有一顶的各面角构成以这个顶为顶的多面角。

如果按简单多面体的每面所在的平面而言，其余所有各面都在这平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。

每个简单多面体都将空间分成两个域(若尔当定理)。如果是凸多面体，其中一域是凸的，另一域是凹的；如果简单多面体是凹的，两个域都是凹的，但其中有且仅有一个域能包含某平面（因而也包含某直线）全部。这个域叫做多面体的外部，另一域叫做多面体的内部。对凸多面体而言，凸域是内部，凹域是外部。

任何凸多面体的顶数υ与面数ƒ的和都较棱数e多2，即υ+ƒ-e=2。这就是欧拉定理。