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机械能守恒

质点或质点系在势力场(见保守系统)中运动时,其动能和势能之和保持为常量。动能和势能之和称为机械能,故称机械能守恒。

设质点Q在势力场中沿曲线Q1Q2运动(见图)。

图

有势力F 沿曲线Q1Q2所作的功A12等于Q1、Q2两点的势能V1、V2的差,即

A12=V1-V2。       (1)

v1和v2分别代表质点QQ1和Q2时的速度。由质点运动微分方程的切向投影式得:

公式 符号

式中FtF沿曲线切向的分量。对上式两边乘以dS得:

公式 符号

对上式由v1到v2进行积分,并代入(1)式,可得:

公式 符号,     (2)

式中公式 符号公式 符号分别为质点QQ1和Q2点的动能。由此可见,质点在势力场中运动时,机械能保持恒量。故势力场又称保守力场,有势力又称保守力。

质点在保守力场中运动时,没有能量耗散,所以作用于质点的力所作的功只同质点的起始和终了的位置有关,而同质点运动的路径无关。例如,质点沿路径Q1Q2和Q1Q0Q2运动时,有势力F 沿二路径所作的功相等。

对于在有势力场中的质点系,其机械能亦守恒,其势能可用质心的势能来计算。