极小曲面

[拼音]：jixiaoqumian

[外文]：minimal surface

面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。

著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解。

从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分，曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h呏0。因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。

在三维欧氏空间E3中，若一张曲面可用方程z=z(x，y)来表示，则称它为图，或非参数化曲面。由极小条件h＝0，E3中极小图的z(x，y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程：

通常称它为极小曲面方程。

E3中极小曲面的重要例子有：

（1）极小的可展曲面是平面；

（2）非平面的极小直纹面是正螺面；

（3）悬链面是仅有的极小旋转曲面；

（4）曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面；

（5）舍克尔极小曲面是极小的螺旋面，它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地，E3中极小曲面的坐标可表示为等温参数（使曲面第一基本形式中的E=G，F=0的参数）的调和函数。E3中不存在紧致无边界的极小曲面。

历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题，他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线Γ，总存在一张以Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。

除了这类存在性问题外，还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：E3中完备的极小图必是平面。

正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。E3中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：E3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明，稍后，M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。

对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是En的完备极小超曲面，那么函数z(x1，x2，…，xn)是否必是线性的？1965年，E.迪乔吉证明n=3是对的；1966年，F.J.阿姆格伦证明n=4也是对的。1967年，J.西蒙斯证明当 n≤7时，都是对的。出乎意料的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得，n=8时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。